Beta与二项分布乘积的渐近分布问题

嘿，这个问题咱们可以通过乘积项中心化分解+Slutsky定理+Delta方法来拆解分析，一步步来：

首先先明确已知的渐近行为：

• 对于$X_n = \frac{\text{Binomial}(n,p)}{n}$，它的均值$\mathbb{E}[X_n] = p$，方差$\text{Var}(X_n) = \frac{p(1-p)}{n}$，根据中心极限定理，$\sqrt{n}(X_n - p)$依分布收敛到$N(0, p(1-p))$。
• 对于$Y_n = F^{-1}(\text{Beta}(n/2+1/2, n/2+1/2))$，先看Beta部分：当$n\to\infty$时，$\text{Beta}(n/2+1/2, n/2+1/2)$的均值是$\frac{1}{2}$，方差近似为$\frac{1}{4n}$（精确计算是$\frac{1}{4(n+2)}$，大n下可以近似），因此$\sqrt{n}(\text{Beta}(\cdot,\cdot) - 1/2)$依分布收敛到$N(0, 1/4)$。再结合Delta方法：只要$F$是严格单调、在$\mu_Y=F^{-1}(1/2)$处可微且导数非零的函数，那么$\sqrt{n}(Y_n - \mathbb{E}[Y_n])$就会依分布收敛到$N(0, \sigma_Y^2)$，其中$\mu_Y = F^{{-1}(1/2)$，$\sigma_Y}2 = \frac{1}{4[F'(\mu_Y)]^2}$。

接下来分析$Z_n = X_n Y_n$的渐近行为：
我们把$Z_n - \mu_n$做中心化分解（本质是乘积的泰勒展开简化）：
$$
Z_n - \mu_n = X_n Y_n - \mathbb{E}[X_n]\mathbb{E}[Y_n] = (X_n - \mathbb{E}[X_n])Y_n + \mathbb{E}[X_n](Y_n - \mathbb{E}[Y_n])
$$
（因为$X_n$和$Y_n$独立，交叉项的期望为0，所以这个分解是完全准确的）

两边乘以$\sqrt{n}$后得到：
$$
\sqrt{n}(Z_n - \mu_n) = \sqrt{n}(X_n - \mathbb{E}[X_n])Y_n + \mathbb{E}[X_n]\sqrt{n}(Y_n - \mathbb{E}[Y_n])
$$

现在逐项看这两部分的渐近性：

1. 第一部分：$\sqrt{n}(X_n - p)$依分布收敛到$N(0, p(1-p))$，而$Y_n$依概率收敛到$\mu_Y$（因为Beta分布依概率收敛到1/2，若$F$连续，$F^{{-1}$也连续，所以$Y_n$会依概率收敛到$F}{-1}(1/2)$）。根据Slutsky定理，这一部分依分布收敛到$N(0, p(1-p)\mu_Y^2)$。
2. 第二部分：$\mathbb{E}[X_n] = p$，$\sqrt{n}(Y_n - \mathbb{E}[Y_n])$依分布收敛到$N(0, \sigma_Y^2)$，所以这一部分依分布收敛到$N(0, p^2\sigma_Y2)$。
3. 有没有需要考虑的高阶项？完整分解里其实还有$(X_n - p)(Y_n - \mathbb{E}[Y_n])$，乘以$\sqrt{n}$后是$\sqrt{n}(X_n-p)(Y_n-\mathbb{E}[Y_n])$，这个项是$O_P(1) \times O_P(n^{-1/2}) = O_P(n^{-1/2})$，当$n\to\infty$时会依概率收敛到0，所以可以完全忽略。

最后，因为$X_n$和$Y_n$独立，上面两个渐近正态的项也是独立的，所以它们的和会依分布收敛到均值为0，方差为$p(1-p)\mu_Y^2 + p^2\sigma_Y2$的正态分布。

需要注意的前提条件：

• $F$是严格单调、在$\mu_Y=F^{-1}(1/2)$处可微且导数非零的函数（保证Delta方法可以适用）；
• $F$是连续函数（保证$Y_n$依概率收敛到$\mu_Y$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric Weine