寻找子群格下半模但不一致的群实例时的疑问：我的错误在哪里？

我最近在研究子群格的下半模性与一致性之间的关联，遇到了一个让我困惑的矛盾点，想请教各位大佬我是不是哪里推导错了：

• 首先，Schmidt的著作《Subgroup Lattices of Groups》中的Corollary 5.3.12明确指出：若群$A$和$B$的子群格均为下半模的，那么它们的直积$A \times B$的子群格也具有下半模性。

• 另外，有一篇学术论文聚焦于子群格具备**一致性（consistent）**的群，一致性的定义是：对于群$G$的任意两个子群$A,B \le G$，如果$A$在$G$中是并不可约（join-irreducible）的，那么$\langle A \cup B \rangle$在区间格$[B,G]$中同样是并不可约的。该论文作者声称，所有下半模的子群格必然是一致的。

但我的问题来了：$S_3$和$C_2$的子群格都是下半模的，按照Schmidt的推论，它们的直积$S_3 \times C_2$的子群格也应该是下半模的。可我反复推导后，觉得$S_3 \times C_2$的子群格并不满足一致性的定义——这到底是我自己的推导过程出了疏漏，还是那篇论文的结论存在问题呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michał Zapała