如何计算奖金可共享的彩票的预期收益？

前阵子我跟朋友掰扯为啥买彩票不划算，本来想给他算明白：从预期收益的角度看，攥着钱远比买票值。

一开始我用了个简化模型来算预期收益：假设彩票总共有 M 种可能的开奖结果，你买一张票选其中一个结果，要是中了就能拿 T 的奖金，没中就啥都没有。按概率算，你中奖的概率是 1/M，那预期收益就是 T/M。

结果算出来吓我一跳——T/M 居然比票价还高！我当时就懵了，这不对啊，彩票公司总不能天天赔钱吧？后来才反应过来我漏了个关键细节：每个参与者都可以选同一个号码啊！

要是有好几个人选了同一个中奖号码，那这笔奖金 T 就得分给所有中这个号的人。比如有 k 个人跟你中了同一个号，那你实际能拿到的奖金就是 T/k，而不是全额的 T。这时候要准确计算预期收益，就得考虑这种多人同号的情况：

• 首先得估算选你这个号码的人数预期值，比如假设大家都是随机选号，总共有 N 个参与者的话，你选的号码被选的人数预期是 N/M。
• 然后你的预期收益就变成了：(1/M) * E[T / k]，这里 k 是中该号码的人数（至少为1，因为你自己已经选了这个号）。

这么一来，实际的预期收益就会比之前简化模型算出来的 T/M 低很多，大概率就低于票价了——这才符合彩票公司盈利的逻辑嘛。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Erel Segal-Halevi