可逆格与不可逆格的积格是否一定不可逆？

嘿，我之前捣鼓格结构的时候突然想到了这个问题：

设$L$是一个有界格，我们把$L$称为可逆格，如果存在一个格同构映射$L$到$L^{c$——这里的$L}c$就是给原格$L$套上相反的序关系得到的格。换个等价的说法：$L$可逆当且仅当存在一个从$L$到自身的逆序双射。

首先有个很直观的结论：如果$L_1$和$L_2$都是可逆格，那它们的积格$L_1 \times L_2$肯定也是可逆的。那反过来有意思的问题来了：如果两个格都不可逆，它们的积格会不会变成可逆的？

答案是会的，当两个格的“不对称性”刚好互相抵消的时候就会出现这种情况。最简单的例子就是取一个不可逆格$L$，然后让另一个格是它的对偶格$L^{c$。因为$L$不可逆，所以$L$和$L}c$不同构，也就是说$L^c$也不可逆。但它们的积格$L \times L^c$呢？我们看它的对偶格$(L \times L^c)c$，根据积格对偶的性质，它等于$L^c \times (L^c)c = L^c \times L$。而积格$L \times L^c$和$Lc \times L$是格同构的——只需要交换两个分量的位置就行，这就说明$L \times L^c$和它的对偶格同构，也就是这个积格是可逆的，但它的两个因子格都不可逆。

这样就明确了：两个不可逆格的积格不一定不可逆，完全有可能因为对偶性的互补变成可逆格。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kabel abel