具有任意奇环顶点集非空交集性质的图的着色数相关证明问询

问题背景 #

设图$G$满足一个关键性质：对于$G$中的任意两个奇环$C_1$和$C_2$，它们的顶点集合必有交集，即$V(C_1) \cap V(C_2) \neq \emptyset$。

子问题(a) #

给定$G$中的任意一个奇环$C$，请证明$\chi(G - V(C)) \leq 2$（也就是去掉$C$的所有顶点后得到的子图，着色数不超过2）。

子问题(b) #

请证明原图形$G$的着色数$\chi(G) \leq 5$。

我的尝试思路 #

针对(a)的初步推导 #

我目前的思路是：要证明$\chi(G - V(C)) \leq 2$，本质就是要说明子图$G' = G - V(C)$是二部图——毕竟二部图的着色数最多是2。

结合题设的核心性质：$G$中所有奇环都有公共顶点交集。那如果$G'$里存在某个奇环$C'$，那$C'$和原奇环$C$就会是两个没有公共顶点的奇环，这直接和题设矛盾了！所以$G'$里不可能存在任何奇环，而不含奇环的图就是二部图，自然满足$\chi(G') \leq 2$。不过我不确定这个逻辑有没有遗漏的细节，比如有没有特殊情况没考虑到？

针对(b)的初步想法 #

对于$\chi(G) \leq 5$的证明，我想可以基于(a)的结论来延伸：既然$G - V(C)$是二部图，那它可以用2种颜色完成着色；而奇环$C$本身是3-可着色的（奇环的着色数恰好是3）。

不过这里有个疑问：如果直接给$C$用3种颜色，给$G - V(C)$用另外2种颜色，会不会因为$C$和$G - V(C)$之间有边连接，导致相邻顶点颜色冲突？比如$G - V(C)$里的某个顶点和$C$里的顶点相邻，这时候颜色得避开$C$中对应顶点的颜色。是不是需要把这部分的颜色分配做得更严谨？比如有没有办法用5种颜色统一覆盖，同时保证相邻顶点颜色不同？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1316790