关于第一类不完全椭圆积分的积分等式证明求助

各位好，我现在卡在一个第一类不完全椭圆积分的等式证明问题上，想请大家帮忙指点一下：

已知条件如下：

• $|x|<1$
• $x\sin\alpha=\sin(2\beta-\alpha)$，其中 $0\leq \alpha\leq \pi, 0\leq \beta\leq \pi/2$

需要证明的等式是：
$$(1+x)\int_{0}^{{\alpha}\frac{d\phi}{\sqrt{1-x}2\sin^{2\phi}}=\int_{0}}{\beta}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\frac{4x}{(x+1)^2}\sin2\phi}}.$$

我自己尝试过两种思路：

• 对等式两边关于 $\alpha$ 求导，试图通过导数相等结合初始条件来证明，但没成功走通
• 考虑用换元积分法，但试了好几个变量都不对，完全摸不准该选什么样的替换才能把左边的积分转化到右边的形式

实在卡在这里了，希望能得到大家的思路提示或者具体的解法方向，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nick