关于富比尼定理的疑问及教授给出的L¹空间等价命题的困惑

我的教授写下了这样一个命题：

$f \in L^1(X \times Y) \Leftrightarrow \quad x \mapsto \int_y f_x \in L^1 \quad \text{and/or} \quad y \mapsto \int_x f^y \in L^1$

我认为其中的**$\Rightarrow$推导方向**是成立的，应该是富比尼定理的推论。不过我也有点拿不准，因为我原本会把结论写成：

$x \mapsto \int_X f_x \in L^1 \quad \text{a.e. on } X$

至于**$\Leftarrow$推导方向**，我完全没思路，甚至不确定这个方向的命题是不是真的成立。因为通常来说，数学家们要证明$f \in L^1(X \times Y)$时，都会借助函数的模（也就是$|f|$）来推导，从来不会用上面提到的两个函数——$x\mapsto \int_X f_x \in L^1$或者$y\mapsto \int_X f^y \in L^1$——中的任意一个来完成证明。

我很好奇这是为什么？在我看来，用这两个函数来证明似乎比处理模要简单得多啊。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nathan