关于线性映射最小奇异值与范数不等式的证明问询（来自《Linear Algebra Done Right》7版习题14）

各位好，我正在做Linear Algebra Done Right（第7版）里关于奇异值分解的习题14，题目要求证明：如果$T$是从向量空间$V$到$W$的线性映射，那么对任意$v \in V$，都满足$s_n||v|| \leq ||Tv||$，其中$s_n$是$T$的最小奇异值。

我目前的推导思路如下：

• 先将$Tv$用奇异值分解的形式展开，推导得到不等式：$||Tv||^2 \geq s_n^2\left(|\langle v,e_1 \rangle|^2 + \dots + |\langle v,e_n \rangle|^2\right)$
• 已知$\text{span}(e_1,\dots,e_n) = (\text{null }T)^\perp$，所以我尝试把向量$v$分解为$u + r$，其中$u \in (\text{null }T)^\perp$，$r \in \text{null }T$，但推导到这里就卡住了，还没能完成最后的结论推导。想请教大家，我的这个思路是否可行？接下来该怎么推进才能得到最终的不等式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tim