关于含下不完全伽马函数的定积分与积分表公式的匹配性验证问询

我现在碰到了一个积分求解的问题，先把我的积分式写出来：

$$P_1 = \int_0^{\infty} \gamma\left(m_0, \frac{\phi m_0}{\Omega_0 h}\right)\cdot h^{m_1-1} \cdot e^{-\frac{m_1}{\Omega_1}h}\text{d}h \tag{1}$$

这里的$\gamma(\cdot,\cdot)$是下不完全伽马函数，$\phi, m_0, m_1, \Omega_0$和$\Omega_1$都是常数。

为了求解这个积分，我查了积分表中的公式6.455(2)，具体形式如下：

$$\int_0^{\infty} x^{\mu-1}\cdot e^{-\beta x} \cdot \gamma(\nu, \alpha x ) \text{d}x = \frac{\alpha \Gamma(\mu + \nu)}{\nu(\alpha + \beta)^{\mu +\nu}} {}_2F_1\left(1,(\mu+\nu);\nu+1;\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right) \tag{2}$$

现在我有个疑问：能不能直接把我的积分式(1)和这个积分表公式(2)进行比对套用呢？我之所以纠结，是因为在积分式(1)里，下不完全伽马函数里的$h$是出现在分母位置的，而公式(2)里的变量$x$是在伽马函数的第二个参数里作为乘数出现的，这让我不确定两者是否能直接匹配上。

我的解答： #

首先明确说：你不能直接将式(1)和式(2)进行匹配套用，核心原因是两个式子中不完全伽马函数的第二个参数形式存在本质差异——公式(2)中是变量的一次正项$\alpha x$，而你的积分式(1)中是变量的负一次项$\frac{\phi m_0}{\Omega_0 h}$，直接对应会导致参数无法对齐。不过我们可以通过变量替换或者展开伽马函数的方式，把式(1)转换成能套用积分表公式的形式，下面给你两种可行的思路：

思路1：变量替换调整伽马函数参数形式

做变量替换$t = \frac{1}{h}$，则$h = \frac{1}{t}$，$\text{d}h = -\frac{1}{t^2}\text{d}t$，积分上下限交换后负号抵消，代入式(1)可得：
$$P_1 = \int_0^{\infty} \gamma\left(m_0, \frac{\phi m_0 t}{\Omega_0}\right)\cdot t^{-(m_1+1)} \cdot e^{-\frac{m_1}{\Omega_1 t}}\text{d}t$$
这时候伽马函数的参数变成了$t$的一次正项，但指数项变成了$e^{{-k/t}$的形式（$k=\frac{m_1}{\Omega_1}$），依然和式(2)的指数项$e}{-\beta x}$形式不同，还需要再做一次变量替换$s = \frac{m_1}{\Omega_1 t}$，把指数项转换成标准形式，不过这会让伽马函数的参数再次变回变量的负一次项，所以这个思路可能需要结合其他积分表公式。

思路2：展开下不完全伽马函数后交换积分顺序

下不完全伽马函数的定义是$\gamma(a,z) = \int_0^z u^{a-1}e{-u}\text{d}u$，把它代入式(1)：
$$P_1 = \int_0^{\infty} h^{m_1-1} e^{-\frac{m_1}{\Omega_1}h} \left( \int_0^{\frac{\phi m_0}{\Omega_0 h}} u^{m_0-1} e^{-u} \text{d}u \right) \text{d}h$$
交换积分顺序（需要确认积分区域的合法性，这里原区域是$h>0, 0<u<\frac{\phi m_0}{\Omega_0 h}$，等价于$u>0, 0<h<\frac{\phi m_0}{\Omega_0 u}$），得到：
$$P_1 = \int_0^{\infty} u^{m_0-1} e^{-u} \left( \int_0^{\frac{\phi m_0}{\Omega_0 u}} h^{m_1-1} e^{-\frac{m_1}{\Omega_1}h} \text{d}h \right) \text{d}u$$
内层积分可以用下不完全伽马函数表示：
$$\int_0^b h^{k-1} e^{-c h} \text{d}h = \frac{\gamma(k, c b)}{c^k}$$
代入后整理可得：
$$P_1 = \frac{\Omega_1^{m_1}}{m_1{m_1}} \int_0^{\infty} u^{m_0-1} e^{-u} \gamma\left(m_1, \frac{\phi m_0 m_1}{\Omega_0 \Omega_1 u}\right) \text{d}u$$
虽然还是有变量在分母的伽马函数，但这个形式可以尝试查找针对$\gamma(\nu, \alpha/x)$的积分表公式，或者用超几何函数展开来求解。

总结一下：直接匹配式(1)和式(2)是不行的，但通过变换可以将你的积分转换成可套用其他积分公式的形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tushar Muratkar