离散随机变量Y的期望计算困惑及Z=X+Y的期望求解咨询

先给出已知的两个离散随机变量的概率分布：

• 随机变量X的概率分布：
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  \mathbb{P}(X = k) = \begin{cases} \frac{5}{6^k} & k \ge 1 \ 0 & k \le 0 \end{cases}
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• 随机变量Y的概率分布：
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  \mathbb{P}(Y = k) = \begin{cases} \frac{6}{\pi^2k2} & k \ge 1 \ 0 & k \le 0 \end{cases}
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另外，我们定义离散随机变量$Z=X+Y$，它取到n的概率可以用卷积形式表示：
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r_{\small n }= \mathbb{P}(Z = n) = \sum_{k=-\infty}^\infty \mathbb{P}(X=k) \mathbb{P}(Y = n-k) = \sum_{k=-\infty}^\infty \mathbb{P}(X=n-k) \mathbb{P}(Y = k)
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现在我真的搞不懂怎么求Y的期望，当我按照期望的定义去计算，也就是把k和对应的概率$\mathbb{P}(Y=k)$相乘再求和的时候，算到一半发现好像哪里不对——展开的话，Y的期望应该是$\mathbb{E}[Y] = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{6}{\pi^2k2} = \frac{6}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$，可这个求和式是调和级数啊，它是发散的，难道Y的期望不存在吗？我是不是哪里算错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chans