半正定差矩阵与相同特征值条件下实对称矩阵的相等性疑问

当然可以推出A=B，我来给你一步步理清楚这个结论的推导过程：

首先我们先把已知条件明确下来：

• A、B都是实对称矩阵，它们的特征值分别排序为$\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$和$\mu_1\geq\cdots\geq\mu_n$
• 矩阵$C = A - B$是半正定矩阵
• 对每一个$i$，都有$\lambda_i = \mu_i$

接下来我们逐步推导：

1. 实对称矩阵的迹（trace）等于它所有特征值的和，所以$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$，$\text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n \mu_i$。因为已知每个$\lambda_i = \mu_i$，所以$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$，那么$\text{tr}(C) = \text{tr}(A) - \text{tr}(B) = 0$。
2. 半正定实对称矩阵的核心性质之一是：它的所有特征值都是非负的。所以C的特征值$\nu_1\geq\nu_2\geq\cdots\geq\nu_n$全部$\geq0$。
3. 而$\text{tr}(C)$就是C所有特征值的和，也就是$\sum_{i=1}^n \nu_i = 0$。每个$\nu_i$都非负，要它们的和为0，只能是每一个$\nu_i = 0$。
4. 对于实对称矩阵来说，如果所有特征值都是0，那它一定是零矩阵——因为实对称矩阵可以正交对角化，相似于零矩阵的矩阵只能是零矩阵本身。

所以$C = 0$，也就是$A = B$。

另外你也可以用Weyl不等式辅助理解：对于实对称矩阵$A = B + C$（C半正定），Weyl不等式给出$\lambda_i(A) \geq \lambda_i(B)$对所有i成立。现在已知$\lambda_i(A) = \lambda_i(B)$对所有i都成立，结合C半正定的条件，也能直接推出C必须是零矩阵。

你之前试的2阶例子就是这个通用结论的具体体现，这个推导过程对任意阶数的实对称矩阵都成立~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tiffany