含n个概率的复合概率表达式简化方法咨询

嘿，我来帮你梳理这个问题~ 先从你给出的例子入手分析：

首先看2个概率的情况，你列出的表达式：

$(1-P_1)P_2+P_1(1-P_2)+(1-P_1)(1-P_2)$

这个式子其实对应所有“并非两个事件同时发生”的场景。我们知道，所有可能事件的概率总和是1，而“两个事件同时发生”的概率是$P_1P_2$（前提是事件相互独立），所以这个表达式可以直接简化成：
1 - P₁P₂

你可以自己展开验证：把原式的每一项展开后合并同类项，最终结果确实等于$1 - P_1P_2$。

再看3个概率的情况，你给出的长表达式：

$(1-P_1)P_2P_3+P_1(1-P_2)P_3+P_1P_2(1-P_3)+(1-P_1)(1-P_2)P_3+...+(1-P_1)(1-P_2)(1-P_3)$

同样的逻辑，这个式子对应的是所有“并非三个事件全部发生”的场景，所以简化后就是：
1 - P₁P₂P₃

那推广到n个概率的情况就很清晰了：

如果你的表达式是所有“n个事件不全发生”的概率总和，并且这些事件是相互独立的，那么它的简化式就是：
1 - P₁P₂P₃…Pₙ

简单来说，就是用全概率1减去“所有n个事件都发生”的联合概率，这样就能把冗长的求和式直接简化成一个简洁的表达式啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hywang