关于证明不同素数p,q时ℤₚ是非自由ℤ_{pq}-模的问题求助

最近我在看交换代数的书时碰到了这么个问题，卡半天没搞明白，想请教下各位大佬：

记对任意$n \in \Bbb{Z}$，$\Bbb{Z}_n = \Bbb{Z} / n\Bbb{Z}$。若$p, q \in \Bbb{N}$是不同的素数，则$\Bbb{Z}p$是一个非自由$\Bbb{Z}{pq}$-模。

我一开始想通过反证法来做——假设$\Bbb{Z}_p$是自由模，然后推出$p=q$，但一用到自由模的抽象定义就绕晕了。

我先明确下我用的定义（怕不同教材定义有差异）：

给定含单位元的交换环$R$，称$M$是自由$R$-模，当且仅当存在$M$的一个子集$B$（称为基），使得$M$中的每个元素都能唯一表示为$B$中元素的$R$-线性组合。

有没有大佬能帮我理一理这个证明的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daniel García