关于加藤-黑川-斋藤《数论1》引理1.5的几何解释及双射构造的技术问询

最近我开始读加藤-黑川-斋藤的《数论1》这本书，看到引理1.5的时候，对里面建立的双射内容产生了一些疑问，想和大家交流探讨相关的技术细节：

设$K$是特征不为2的域，$a,b,c$是$K$中互不相同的元素。定义集合$B$和$C$如下：
$$
\begin{align}
B &= {(u, v, w) \in K \times K \times K\ |\ u^2 + a = v^2 + b = w^2 + c }, \
C &= {(x, y) \in K \times K\ |\ y^2 = (x - a)(x - b)(x - c),\ y \neq 0 } \
\end{align}
$$
则存在互逆映射$f \colon B \to C$和$g \colon C \to B$，其中映射$f$的表达式原文只给出了开头：
$$
f(u, v, w) = \dots
$$

我现在的困惑主要有这几点：

• 从几何视角来看，集合$C$是三次曲线$y^2=(x-a)(x-b)(x-c)$去掉$y=0$的点（也就是三个分支点），那集合$B$对应的几何对象是什么呢？
• 这两个互逆映射的具体构造应该怎么推导？有没有直观的代数或者几何动机？
• 这个双射的存在性背后有没有更深层的数论或者代数几何背景？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者fmnq