关于Freitag&Busam《复分析》中局部共形映射定理的疑问

Complex Analysis（Freitag&Busam 著）中的Theorem I.5.15指出：设映射 $f:D\to D'$，其中 $D,D'$ 是 $\mathbb{C}$ 中的开集，则 $f$ 是局部共形映射当且仅当 $f$ 解析，且其导数解析且处处不为零。

在这本书的这一阶段，柯西积分定理（Cauchy integral theorem）或者柯西积分公式（CIF）还完全没有被提及。那这里的“其导数解析”是怎么来的呢？在我看来，定理之前的定义和注释只能推导出导数的连续性，而不是解析性。我是不是漏掉了什么？提前感谢各位的解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user760