CSIR NET 2019年6月考题中，曲线上过原点的切线在能量增益与消耗比值最大化问题中的意义疑问

题目背景 #

这道题出自CSIR NET 2019年6月考试：一只猴子爬树吃果子，不同分支攀爬时，消耗的能量与获得的能量的关系如图所示。
问题：能量增益与能量消耗的比值最大时，对应曲线上的哪个点？
官方给出的答案：曲线上切线经过原点的那个点。

我的疑问 #

题目里没有提供任何具体数据支撑这个结论，感觉随便选个点比如斜率为1的点也有道理，为什么偏偏是过原点的切线对应的点呢？想不通这个推导逻辑，求解答。

逻辑推导（解答） #

其实不用数据也能通过几何和数学逻辑得出结论，咱们一步步理：

• 先明确坐标定义：假设曲线上任意一点的坐标是(E_消耗, E_增益)，横轴是消耗的能量，纵轴是获得的能量。
• 我们要最大化的比值是E_增益 / E_消耗，这个比值恰好就是该点与原点连线的斜率（斜率公式：k = 纵轴数值 / 横轴数值）。
• 问题转化为：在这条曲线上找一个点，使得它和原点连线的斜率最大。
• 从几何角度看，当这条连线刚好是曲线的切线时，斜率达到最大值：如果把线画得更陡，就会和曲线完全不相交；如果画得平缓一些，曲线上还存在其他点，其与原点连线的斜率更大。
• 你提到的“斜率为1的点”，只是E_增益 = E_消耗的情况（比值为1），但这不一定是最大比值——只有当过原点的切线斜率恰好为1时，两者才会重合，否则最大比值对应的斜率必然大于1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者S.S