自定义函数局部极值求解：驻点位置、值及性质判定需求

看起来你已经在Mathematica里尝试找这个二元函数的驻点了，我来帮你梳理清楚完整的步骤，包括驻点定位、函数值计算以及极值判断，另外也补充Python的实现方案，方便你对比参考～

先看一下目标函数：

import numpy as np
def func(x,y):
    return (np.cos(x*10))**2 + (np.sin(y*10))**2

这是一个分离变量的二元函数，x和y的部分相互独立，所以我们可以分别找到x、y方向的临界点，再组合得到所有驻点，这样计算会更简单。

一、Mathematica 实现步骤 #

1. 定义函数并求一阶偏导 #

首先在Mathematica里定义函数，然后计算对x和y的一阶偏导数：

(* 定义目标函数 *)
f[x_, y_] := Cos[10 x]^2 + Sin[10 y]^2

(* 计算一阶偏导数 *)
firstDerivX = D[f[x, y], x]  (* 结果：-20 Cos[10 x] Sin[10 x] → 化简为 -10 Sin[20 x] *)
firstDerivY = D[f[x, y], y]  (* 结果：20 Sin[10 y] Cos[10 y] → 化简为 10 Sin[20 y] *)

2. 解一阶偏导为0的方程组 #

令两个偏导数等于0，解出所有临界点的通解：

(* 解驻点方程组 *)
criticalPoints = Solve[{firstDerivX == 0, firstDerivY == 0}, {x, y}]

得到的通解为：

• x = πk/20（k为任意整数）
• y = πm/20（m为任意整数）

3. 计算驻点的函数值 #

将通解代入原函数，根据k、m的奇偶性，函数值有三种情况：

• 当k为奇数、m为偶数：Cos[10x]平方为0，Sin[10y]平方为0 → 函数值=0
• 当k为偶数、m为奇数：Cos[10x]平方为1，Sin[10y]平方为1 → 函数值=2
• 当k、m同奇偶：Cos[10x]平方与Sin[10y]平方一个为1一个为0 → 函数值=1

4. 用海森矩阵判断极值类型 #

计算二阶偏导构建海森矩阵，通过行列式和二阶偏导的符号判断极值：

(* 计算二阶偏导数 *)
secondDerivXX = D[f[x, y], {x, 2}]  (* 结果：-200 Cos[20 x] *)
secondDerivYY = D[f[x, y], {y, 2}]  (* 结果：200 Cos[20 y] *)
secondDerivXY = D[f[x, y], x, y]    (* 结果：0，混合偏导为0 *)

(* 海森矩阵行列式 *)
hessianDet = secondDerivXX * secondDerivYY - secondDerivXY^2

代入驻点的x、y值（20x=kπ，20y=mπ），得到：

• Cos[20x] = Cos[kπ] = (-1)^k，Cos[20y] = Cos[mπ] = (-1)^m
• 行列式 hessianDet = -40000*(-1)^k*(-1)^m = -40000*(-1)^(k+m)

根据行列式判断：

• 行列式>0：是极值点。若secondDerivXX>0则为极小值点，否则为极大值点
  • 当k奇、m偶：行列式=40000>0，secondDerivXX=200>0 → 极小值点（函数值0）
  • 当k偶、m奇：行列式=40000>0，secondDerivXX=-200<0 → 极大值点（函数值2）
• 行列式<0：是鞍点（函数值1）
  • 当k、m同奇偶时，行列式=-40000<0 → 鞍点

完整Mathematica示例代码 #

(* 定义函数 *)
f[x_, y_] := Cos[10 x]^2 + Sin[10 y]^2

(* 求一阶偏导并解驻点 *)
firstDerivX = D[f[x, y], x];
firstDerivY = D[f[x, y], y];
criticalPoints = Solve[{firstDerivX == 0, firstDerivY == 0}, {x, y}];

(* 计算二阶偏导和海森行列式 *)
secondDerivXX = D[f[x, y], {x, 2}];
secondDerivYY = D[f[x, y], {y, 2}];
hessianDet = secondDerivXX * secondDerivYY;

(* 定义驻点分类函数 *)
classifyPoint[k_, m_] := Module[{x0, y0, fVal, det, xx},
    x0 = Pi*k/20;
    y0 = Pi*m/20;
    fVal = f[x0, y0];
    det = hessianDet /. {x -> x0, y -> y0};
    xx = secondDerivXX /. {x -> x0, y -> y0};
    Which[
        det > 0 && xx > 0, "极小值点",
        det > 0 && xx < 0, "极大值点",
        det < 0, "鞍点"
    ]
];

(* 测试几个驻点 *)
Print["k=0, m=1: ", classifyPoint[0, 1], "，函数值: ", f[0, Pi/20]];
Print["k=1, m=0: ", classifyPoint[1, 0], "，函数值: ", f[Pi/20, 0]];
Print["k=0, m=0: ", classifyPoint[0, 0], "，函数值: ", f[0, 0]];

二、Python 实现方案 #

因为函数是分离变量的，我们可以遍历整数k、m来生成驻点，再判断极值：

import numpy as np

def func(x, y):
    return (np.cos(x*10))**2 + (np.sin(y*10))**2

def get_critical_points(k_min, k_max, m_min, m_max):
    """生成指定范围内的驻点列表，包含位置、函数值、极值类型"""
    critical_list = []
    for k in range(k_min, k_max+1):
        x = k * np.pi / 20
        for m in range(m_min, m_max+1):
            y = m * np.pi / 20
            f_val = func(x, y)
            # 计算二阶偏导和海森行列式
            dxx = -200 * np.cos(20 * x)
            dyy = 200 * np.cos(20 * y)
            det_hessian = dxx * dyy
            
            # 判断极值类型
            if det_hessian > 0:
                if dxx > 0:
                    point_type = "极小值点"
                else:
                    point_type = "极大值点"
            elif det_hessian < 0:
                point_type = "鞍点"
            else:
                point_type = "无法直接判断"
            
            critical_list.append({
                "位置": (round(x, 4), round(y, 4)),
                "函数值": round(f_val, 4),
                "类型": point_type
            })
    return critical_list

# 示例：生成k从0到3，m从0到3的驻点
points = get_critical_points(0, 3, 0, 3)
for idx, point in enumerate(points, 1):
    print(f"驻点{idx}: 位置{point['位置']}，函数值{point['函数值']}，类型{point['类型']}")

运行上述代码后，你会得到指定范围内所有驻点的详细信息，包括位置、函数值和极值类型。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SuperCiocia