计算Avila与Bochi示例中的李雅普诺夫指数

Hey，我来帮你搞定这个Avila和Bochi讲义里的李雅普诺夫指数计算问题！先把背景和问题理清楚：

基础设定回顾 #

我们考虑的是独立同分布（i.i.d.）随机矩阵乘积的李雅普诺夫指数：设${Y_i}$是一列取值于$SL(2,\mathbb{R})$（行列式为1的2×2实矩阵）的随机矩阵，共同分布为$\mu$。李雅普诺夫指数$\lambda$是满足以下式子的非负数（几乎处处成立）：
$$
\lambda = \limsup_{n \to \infty} \frac{\log\lVert Y_{n}Y_{n-1}\cdots Y_{1}\rVert}{n}
$$

示例3.3的具体场景 #

这个示例里，随机序列只会出现两个矩阵：

1. 对角伸缩矩阵：
   $$
   A = \begin{pmatrix}
   2 & 0 \
   0 & \frac{1}{2} \
   \end{pmatrix}
   $$
2. 90度旋转矩阵：
   $$
   R_{\pi/2} = \begin{pmatrix}
   0 & -1 \
   1 & 0 \
   \end{pmatrix}
   $$

李雅普诺夫指数计算过程 #

我们分几步来推导：

• 关键性质：旋转矩阵$R_{\pi/2}$是正交矩阵，而正交矩阵和任意矩阵相乘时，算子范数保持不变——也就是说$\lVert R_{\pi/2} X \rVert = \lVert X \rVert$，$\lVert X R_{\pi/2} \rVert = \lVert X \rVert$对任意矩阵$X$都成立。
• 单独看两个矩阵的范数：$\lVert A \rVert = 2$（最大奇异值为2），$\log\lVert A \rVert = \log 2$；$\lVert R_{\pi/2} \rVert = 1$，$\log\lVert R_{\pi/2} \rVert = 0$。
• 乘积范数的规律：不管旋转矩阵在乘积里怎么排列，每出现一次$A$，整个乘积的范数就会乘以2；出现旋转矩阵时，范数不会变化。

假设每次选取矩阵$A$的概率为$p$，选取$R_{\pi/2}$的概率为$1-p$。根据强大数定律，当$n$趋向无穷时，$n$次选取中$A$出现的次数$k_n$满足$\frac{k_n}{n} \to p$几乎处处。

那么乘积的范数对数除以$n$的极限就是：
$$
\frac{\log\lVert Y_n Y_{n-1} \dots Y_1 \rVert}{n} = \frac{k_n \cdot \log 2}{n} \to p \log 2 \quad \text{几乎处处}
$$

所以这个场景下的李雅普诺夫指数就是：
$$
\lambda = p \log 2
$$

如果示例中是等概率选取两个矩阵（即$p=1/2$），那么$\lambda = \frac{1}{2}\log 2$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Raul Fernandes Horta