关于幂等映射的不动点空间是收缩核的证明疑问

嘿，你其实已经走对了99%的路，只差最后一步关键验证啦！让我帮你把这个逻辑补全：

首先先明确收缩核的定义：子空间$F \subset X$是$X$的收缩核，当且仅当存在连续映射$r: X \rightarrow F$（收缩映射），满足两个核心条件：

• $\iota \circ r: X \rightarrow X$是把$X$映到$F$的映射（这部分你已经通过等化子的泛性质得到了，就是$\iota \circ r = e$）；
• $r \circ \iota = \text{id}_F$——也就是收缩映射作用在$F$的元素上时，要保持元素本身不变。

你现在已经构造出了满足第一个条件的$r$，接下来只需要补全第二个条件的验证：

• 对任意$x \in F$，根据不动点的定义，必然有$e(x) = x$；
• 而根据$\iota \circ r = e$，我们可以推出$\iota(r(x)) = e(x) = x$；
• 但$\iota$是包含映射，它对$F$中所有元素的作用都是恒等（即$\iota(y) = y$对所有$y \in F$成立），所以$\iota(r(x)) = r(x)$；
• 结合上面两个结论，就能直接得到$r(x) = x$，也就是$r \circ \iota(x) = x = \text{id}_F(x)$。

这样一来，$r$就完全满足收缩映射的定义了，$F$自然就是$X$的收缩核啦。你之前的构造逻辑是对的，只是没把“$r$在$F$上是恒等映射”这关键一步验证出来~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jule