从不动点集合重构闭包算子

咱们先从闭包算子的基础定义说起哈——假设$L$是一个格（不一定是完备格），我们把满足以下三个条件的函数$f\colon L\to L$叫做闭包算子：

• 幂等性：$f(f(x)) = f(x)$，对任意$x\in L$成立
• 保序性：如果$x\leq y$，那么$f(x) \leq f(y)$，对任意$x,y\in L$成立
• 扩张性：$x \leq f(x)$，对任意$x\in L$成立

满足$f(x)=x$的元素就是这个闭包算子的不动点，我们也把这些元素叫做闭元素。

那如果我们事先给定$L$的任意一个子集$C\subseteq L$，能不能构造出一个闭包算子$f_C$，让它的不动点集合恰好就是$C$呢？当然可以！我们只需要这样定义这个算子：

$$f(x) = \bigwedge (x{\uparrow}\cap C) = \bigwedge {{c\in C: x\leq c}}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jakim