关于蛇形引理的简洁证明及相关交换图的技术咨询

嘿，看来你在研究蛇形引理的交换图和证明对吧？先把完整的蛇形引理标准交换图给你列出来（用LaTeX格式表示）：

\begin{array}{ccccccccc}
        &         &         &         & 0       &         & 0       &         & 0       \\
        &         &         &         & \downarrow&         & \downarrow&         & \downarrow\\
0       & \longrightarrow & \ker\alpha & \stackrel{\mu_*}\longrightarrow & \ker\beta & \stackrel{\varepsilon_*}\longrightarrow & \ker\gamma & \stackrel{\delta}\longrightarrow & \text{coker}\alpha \\
        &         & \downarrow\scriptstyle{\iota_1} &         & \downarrow\scriptstyle{\iota_2} &         & \downarrow\scriptstyle{\iota_3} &         & \downarrow\scriptstyle{\pi_1} \\
0       & \longrightarrow & A & \stackrel{\mu}{\longrightarrow} & B & \stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow} & C & \longrightarrow & 0 \\
        &         & \downarrow\scriptstyle{\alpha} &         & \downarrow\scriptstyle{\beta} &         & \downarrow\scriptstyle{\gamma} &         & \\
0       & \longrightarrow & A' & \stackrel{\mu'}{\longrightarrow} & B' & \stackrel{\varepsilon'}{\longrightarrow} & C' & \longrightarrow & 0 \\
        &         & \downarrow\scriptstyle{\pi_2} &         & \downarrow\scriptstyle{\pi_3} &         & \downarrow\scriptstyle{\pi_4} &         & \\
        &         & \text{coker}\alpha & \stackrel{\mu'_*}\longrightarrow & \text{coker}\beta & \stackrel{\varepsilon'_*}\longrightarrow & \text{coker}\gamma & \longrightarrow & 0 \\
        &         &         &         & \downarrow&         & \downarrow&         & \downarrow\\
        &         &         &         & 0       &         & 0       &         & 0
\end{array}

其中核心是那条“蛇形”的正合列：$\ker\alpha \to \ker\beta \to \ker\gamma \stackrel{\delta}\to \text{coker}\alpha \to \text{coker}\beta \to \text{coker}\gamma$，我来给你拆解这个引理的证明思路，步骤清晰易懂：

• 定义连接同态$\delta$：
  取$\ker\gamma$中的任意元素$c$，因为上方行的$\varepsilon$是满射（行正合性），存在$b\in B$使得$\varepsilon(b)=c$。根据交换图的交换性$\gamma\circ\varepsilon = \varepsilon'\circ\beta$，可得$\gamma(c)=\varepsilon'(\beta(b))=0$，所以$\beta(b)\in\ker\varepsilon'$。又因为下方行正合，$\ker\varepsilon' = \text{im}\mu'$，因此存在$a'\in A'$满足$\mu'(a')=\beta(b)$。此时$\delta(c)$就定义为$a'$在$\text{coker}\alpha$中的等价类（即$a' + \text{im}\alpha$）。
  要验证这个定义是良定的：如果选另一个$b'\in B$使得$\varepsilon(b')=c$，则$\varepsilon(b-b')=0$，故$b-b'\in\ker\varepsilon=\text{im}\mu$，即存在$a\in A$让$\mu(a)=b-b'$。由交换性$\beta\circ\mu = \mu'\circ\alpha$，可得$\beta(b)-\beta(b')=\mu'(\alpha(a))$，对应$a'$和$b'$对应的$a''$满足$a'-a''=\alpha(a)$，所以二者在$\text{coker}\alpha$中的等价类相同，$\delta(c)$的定义不依赖$b$的选择。

• 验证正合性：

  1. $\ker\alpha \to \ker\beta \to \ker\gamma$的正合性：
     直接由原行的正合性推导，$\mu_$是$\mu$在$\ker\alpha$上的限制，其像必然在$\ker\beta$中（因为$\beta(\mu(a))=\mu'(\alpha(a))=0$，当$a\in\ker\alpha$时）；同时$\text{im}\mu_ = \ker\varepsilon_*$，利用原行$\text{im}\mu=\ker\varepsilon$的性质即可证明。
  2. $\ker\gamma \stackrel{\delta}\to \text{coker}\alpha$的正合性（$\text{im}\varepsilon_* = \ker\delta$）：
     若$c\in\text{im}\varepsilon_$，则存在$b\in\ker\beta$使得$\varepsilon(b)=c$，此时$\beta(b)=0$，对应$a'=0$，故$\delta(c)=0$；反之，若$\delta(c)=0$，则$a'\in\text{im}\alpha$，即$a'=\alpha(a)$，于是$\beta(b)=\mu'(\alpha(a))=\beta(\mu(a))$，可得$b-\mu(a)\in\ker\beta$，且$\varepsilon(b-\mu(a))=c$，故$c\in\text{im}\varepsilon_$。
  3. $\text{coker}\alpha \to \text{coker}\beta \to \text{coker}\gamma$的正合性：
     商映射会保持正合性，结合原行的正合性和交换图的交换性，直接验证像与核的包含关系即可，思路和核的正合性验证类似。
  4. $\text{im}\delta = \ker(\text{coker}\alpha \to \text{coker}\beta)$：
     若$x\in\text{im}\delta$，则$x=\delta(c)$，对应$a'$满足$\mu'(a')=\beta(b)$，故$\mu'*(x)=\mu'(a')+\text{im}\beta=0$，即$x\in\ker\mu'$；反之，若$x=a'+\text{im}\alpha\in\ker\mu'_$，则$\mu'(a')\in\text{im}\beta$，存在$b\in B$使得$\beta(b)=\mu'(a')$，令$c=\varepsilon(b)$，则$\gamma(c)=\varepsilon'(\beta(b))=\varepsilon'(\mu'(a'))=0$（因为$\varepsilon'\circ\mu'=0$），故$c\in\ker\gamma$且$\delta(c)=x$，即$x\in\text{im}\delta$。

这样整个蛇形正合列的正合性就全部证明完毕啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者itkyitfbku