关于围道积分$\int_{|z-\mathrm{e}|=2} \frac{1}{(z-1)\log z}dz$的求解方法疑问

嘿，你的这个展开思路其实走偏啦，问题出在泰勒展开的收敛域上：你用的$\log(z)$在$z=1$处的泰勒展开$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(z-1)n}{n}$，它的收敛范围是$|z-1|<1$，但我们的围道是$|z-e|=2$——你可以算一下，围道上比如点$z=e+2$，到$z=1$的距离是$e+2-1≈3.718$，远大于1，完全超出了这个展开的收敛域。这时候你直接把积分和求和交换顺序是不成立的，因为级数在围道上不收敛，所以这个方法没法继续推进。

那正确的解法应该用留数定理，步骤如下：

• 第一步：确定围道内部的奇点
  被积函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)\log z}$的奇点来自两个地方：$\log z$的分支点（$z=0$），以及$\log z=0$的点（也就是$z=1$，主值分支下$\log1=0$）。
  围道$|z-e|=2$的中心是$e≈2.718$，半径2：$z=0$到$e$的距离是$e≈2.718>2$，不在围道内部；$z=1$到$e$的距离是$e-1≈1.718<2$，在围道内部。所以围道内只有$z=1$这一个奇点。

• 第二步：计算$z=1$处的留数
  令$w=z-1$，当$w→0$时，$\log z=\log(1+w)=w - \frac{w^2}{2} + \frac{w^3}{3} - \dots = w\left(1 - \frac{w}{2} + \frac{w^2}{3} - \dots\right)$。
  代入被积函数：
  $$f(z)=\frac{1}{w \cdot w\left(1 - \frac{w}{2} + \frac{w^2}{3} - \dots\right)}=\frac{1}{w^2} \cdot \frac{1}{1 - \left(\frac{w}{2} - \frac{w^2}{3} + \dots\right)}$$
  对$\frac{1}{1 - x}$用几何级数展开（$x=\frac{w}{2} - \frac{w^2}{3} + \dots$，当$w→0$时$|x|<1$）：
  $$\frac{1}{1 - x}=1 + x + x^2 + \dots$$
  代入后整理：
  $$f(z)=\frac{1}{w^2}\left[1 + \frac{w}{2} + \left(\frac{w^2}{4} - \frac{w^2}{3}\right) + \dots\right]=\frac{1}{w^2} + \frac{1}{2w} + \dots$$
  留数是$w^{-1}$项的系数，也就是$\frac{1}{2}$。

• 第三步：应用留数定理
  围道积分等于$2\pi i$乘以内部所有奇点的留数之和，这里只有$z=1$的留数$\frac{1}{2}$，所以：
  $$\int_{|z-e|=2} \frac{1}{(z-1)\log z}dz=2\pi i \cdot \frac{1}{2}=\pi i$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Confused