含除数和σ、欧拉常数γ、π的非平凡级数等式相关研究咨询

在研究除数和的高效计算时，我发现了一个挺有意思的级数公式。有意思的是，这个级数收敛得特别慢——毕竟但凡涉及欧拉常数γ的级数大多都这样😅：

$$\sum _{k=1}^{\infty } \frac{\sigma (k)}{k}\left(\frac{1+ 2 \pi ^{3/2} \sqrt{2 k}}{e^{2 \pi ^{3/2} \sqrt{2 k}}}-\frac{\pi ^{3/2}}{(2 k+\pi )^{3/2}}\right)=\frac{\gamma }{2}-\frac{\pi ^3}{6}+\frac{1}{8 \pi }-1+\log (2 \pi )$$

我想特意强调这个非平凡的公式，同时想问问各位：有没有人见过类似的公式，或者了解过相关的研究文章？

这个公式是受一个除数和相关的近似关系启发得到的。另外我还发现了其他一些类似的公式，这让我猜测应该也有其他人研究过这类求和问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gevorg Hmayakyan