线性代数疑问：$Q^TQ$非单位矩阵的原因及QR分解下的最小二乘相关习题咨询

大家好，我最近在通过MIT OpenCourseWare学习线性代数，正在做相关习题，其中一道题的第二部分让我有点困惑，想过来请教一下：

(a) 已解决的习题 #

$p = A\hat{x}$ 是列空间 $C(A)$ 中与给定向量 $b$ 距离最近的向量。若 $A$ 的列向量线性无关，确定 $\hat{x}$ 的方程是什么？所有与误差向量 $e = b - A\hat{x}$ 垂直的向量是哪些？如果 $A$ 的列向量线性相关会出现什么问题？

我给出的答案是 $\hat{x} = R^{-1}Q{-1}b$，已经被判定正确了。

(b) 存在困惑的习题（内容未完整） #

假设 $A = QR$，其中 $Q$ 具有标准正交列向量，$R$ 是可逆的上三角矩阵。求 $\hat{x}$？

这里我主要的困惑点在于：按照标准正交列向量的定义，$Q^TQ$ 应该是单位矩阵，但我在推导过程中好像遇到了例外情况，想问问这可能是什么原因？另外，在QR分解的这个设定下，求解最小二乘问题的 $\hat{x}$ 正确的推导步骤应该是怎样的呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者squid__