关于拓扑空间指数法则的技术问询：X为n维拓扑单形且无Y局部紧假设时是否成立

先回顾你提到的基础定理：

定理：给定三个拓扑空间$X,Y,Z$，其中$X$和$Y$是Hausdorff空间，且$Y$是局部紧的，那么自然映射
$$\hom(X\times Y,Z)\rightarrow\hom(X,\hom(Y,Z))$$
是同胚（所有hom空间均赋予紧开拓扑）。

正如你所说，Daniel Dugger在《A primer on Homotopy Colimit》里频繁用到这类结论，而你的疑问非常关键——当$X$取成$n$维拓扑单形$\Delta^n$，且不要求$Y$局部紧（但所有空间仍保持Hausdorff）时，这个指数法则还成立吗？

答案是肯定的，核心原因在于$\Delta^{n$是一个**紧Hausdorff空间**：它作为$\mathbb{R}}{n+1}$中的凸紧子集，自带紧性和Hausdorff性质。而紧开拓扑下的指数法则有一个重要的推广情况：

• 当$X$是紧Hausdorff空间，$Y,Z$是Hausdorff空间时，自然映射$\hom(X\times Y,Z)\to\hom(X,\hom(Y,Z))$必然是同胚。

具体来说，紧开拓扑是由形如${f\in\hom(A,B)\mid f(K)\subset U}$（其中$K\subset A$紧，$U\subset B$开）的集合生成的拓扑。当$X$紧时，$X\times Y$中的任意紧子集都可以被$X$的紧子集（其实就是$X$本身）和$Y$的子集的乘积覆盖，这就保证了自然映射的双向连续性：

1. 从$\hom(X\times Y,Z)$到$\hom(X,\hom(Y,Z))$的映射连续：原映射在紧开拓扑下的开集，对应到目标空间中由$X$的紧集（即$X$）和$\hom(Y,Z)$中的紧开拓扑开集生成的开集；
2. 逆映射也连续：目标空间中的开集，对应回原空间中由$X\times Y$的紧子集（即$X\times K$，$K\subset Y$紧）生成的开集，$X$的紧性确保这些集合能正确对应。

简单总结就是：$X=\Delta^n$的紧性替代了$Y$局部紧的条件，足以让指数法则成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mukilraj K