关于魏尔斯特拉斯℘函数推导中消去℘'(z)的合理性疑问

嘿，这个问题问到点子上了——复分析里随便约掉因子确实容易踩坑，不过咱们一步步理清楚就没问题：

首先，你已经从℘的微分方程求导得到了：
$$\wp''(z)\wp'(z)=12\wp^2(z)\wp'(z)-g_2\wp'(z)$$

先看℘'(z)≠0的区域：在基本域里，℘'(z)只有三个孤立零点（对应椭圆曲线的2阶挠点），除了这三个点之外，℘'(z)都不为零，这时候你完全可以两边同时除以℘'(z)，得到$\wp''(z)=12\wp^2(z)-g_2$，这部分是完全合理的。

那关键的三个零点怎么办？这里要用到复分析里的解析延拓原理：两个亚纯函数如果在一个包含聚点的区域上相等，那它们在整个定义域上都相等。咱们刚才得到的等式在除了三个孤立点之外的整个复平面（或者说基本域）上成立，这个区域显然有聚点（随便取一串趋近于某个点的序列就行），所以$\wp''(z)=12\wp^2(z)-g_2$必然在整个定义域上都成立，包括那三个℘'(z)=0的点。

如果你想更直接验证零点处的情况也可以：假设$z_0$是℘'(z₀)=0的点，从原微分方程$\wp'(z)^2=4\wp3(z)-g_2\wp(z)-g_3$出发，两边求导得到$2\wp'(z)\wp''(z)=12\wp^{2(z)\wp'(z)-g_2\wp'(z)$，代入z=z₀的话，左右两边都是0，这时候虽然不能直接约掉℘'(z₀)，但你可以用℘在z₀附近的泰勒展开式代入，或者直接计算℘''(z₀)的值，最终会发现$\wp''(z_0)=12\wp}2(z_0)-g_2$依然成立。

所以结论就是：虽然不能无脑直接在所有点都消去℘'(z)，但通过解析延拓或者直接验证零点处的等式，我们可以确定$\wp''$确实是$\wp$的二次多项式，你的推导方向是对的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sagnik Dutta