求100阶特定反对角矩阵的特征值
我最近碰到这么个问题：设100阶矩阵
$$A=\begin{bmatrix}0&0&0&\dots&0&100\0&0&0&\dots&99&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\0&2&0&\dots&0&0\1&0&0&\dots&0&0\end{bmatrix}$$
想求它的特征值，但直接构造$A-\lambda I$再算行列式，实在太繁琐，完全不现实。
我自己先试着算了一步：
首先算出$A$的平方是个对角矩阵：
$$A^2=\begin{bmatrix}100\times1&0&0&\dots&0&0\0&98\times2&0&\dots&0&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\0&0&0&\dots&2\times98&0\0&0&0&\dots&0&1\times100\end{bmatrix}$$
我们都知道对角矩阵的特征值就是它的对角元素，那能不能利用若$\lambda$是矩阵$M$的特征值，则$\lambda2$是$M2$的特征值这个性质，反过来推导$A$的特征值呢？
先看$A^2$的对角元素：第$k$个对角元（$k$从1到100）其实是$k\times(101-k)$——比如第一个是$1\times100$，第二个是$2\times99$，直到第50个是$50\times51$，第51个又回到$51\times50$，后面的元素和前半部分对称。
接下来我们可以结合矩阵结构和特征向量来验证：
这个矩阵$A$可以看作反向置换矩阵$P$（反对角线全为1，其余为0）和对角矩阵$D$（对角元为$1,2,\dots,100$）的乘积，也就是$A=PD$。
对于任意$k$（1≤k≤50），我们可以构造特征向量：取向量$v_k = e_k + \frac{\mu}{k}e_{101-k}$，其中$\mu$满足$\mu^2 = k(101-k)$，代入$Av_k$就能得到$\mu v_k$，这说明$\mu=\sqrt{k(101-k)}$和$\mu=-\sqrt{k(101-k)}$都是$A$的特征值。
因为100是偶数，每个$k$和$101-k$是不同的索引，所以每个$\pm\sqrt{k(101-k)}$都是单特征值，总共50对，正好100个特征值，符合矩阵的阶数。
总结一下：
- $A$的所有特征值为$\pm\sqrt{k(101 - k)}$，其中$k = 1,2,\dots,50$
- 每个特征值的重数都是1。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1313860
