关于Δ-复形上群的自由单纯作用是否为覆叠空间作用的技术问询（含Allen Hatcher习题1.B.1相关背景及原回答翻译）

提问内容 #

我之前碰到一个类似问题的回答不准确，但因为账号评分不够没法留下评论，所以特意再问一次：
假设群$G$单纯地作用在Δ-复形$X$上——这里的“单纯地”指$G$中的每个元素都能通过线性同胚把$X$的每个单纯形映射到另一个单纯形上。如果这个作用是自由的，那它一定是覆叠空间作用吗？

专业解答 #

答案是肯定的：这种自由单纯作用确实属于覆叠空间作用，也就是我们常说的适当间断作用。我给你理清楚核心逻辑：

• 先在$X$里任取一点$p$，找到唯一的单纯形$\sigma$，让$p$落在$\sigma$的内部区域。
• 考虑$G$中所有能保持$\sigma$不变的元素构成的子群，因为作用是自由的，这个子群只能是平凡群（毕竟它会固定$\sigma$的重心，而自由作用下只有群的单位元能固定任何点）。
• 我们可以在$\sigma$里选一个包含$p$的开子集$U$，要求$U$在$\sigma$中是开集，并且$U$的闭包$\overline{U}$完全包含在$\sigma$的内部里。
• 这个$U$和它被$G$中非平凡元素平移后的所有像都是互不相交的——道理很简单：$\sigma$的内部和它所有平移后的像的内部本身就不相交，而$U$又完全在$\sigma$内部，自然不会和其他平移后的子集重叠。

（原回答里提到的“使用给定的度量...”部分内容不完整，但核心的适当间断性证明逻辑已经覆盖到位）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex