可数集上满足极限条件的函数构造及相关推论的疑问

我遇到了这样一个问题：

若 $A \subset \mathbb{R}^n$ 是可数集，证明存在函数 $f: A\to \mathbb{R}$，使得对所有 $a \in A'$，都有 $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$。其中 $A'$ 是 $A$ 的极限点集。

我先在 $\mathbb{R}$ 上尝试构造这样的函数，尤其是当 $A$ 是稠密集合（比如有理数集）的时候，花了很长时间都没找到合适的函数。

另外我注意到一个推论：如果存在这样的函数，那应该不存在可数的完美集？因为如果有可数完美集的话，它的每个点都是极限点，那每个点处的极限都是无穷大，但函数 $f$ 是从 $A$ 映射到 $\mathbb{R}$ 的，这就产生了矛盾。我这个想法对吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie