特定三次多项式的个位数字差异存在性证明求助

我最近碰到这么一个多项式相关的证明题，是从Nguyen Tien Lam的Đa thức（Polynomial）里摘出来的：

设 ( P(x) ) 是一个系数为自然数的三次多项式，其常数项为1，且所有系数之和为2020。证明：存在正整数 ( a )，使得 ( (P(a))^2 ) 和 ( P(a) ) 的十进制个位数字不同。

我已经把多项式设成了 ( P(x) = m x^3 + n x^2 + p x + 1 )，也根据系数和的条件算出了 ( m + n + p = 2019 )，但到这一步就卡壳了，不知道接下来该怎么推进这个证明，有没有大佬能给点思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nth