证明序列$x_k=\left(\frac{5k^2}{k+1}\right)^k\cdot\frac{1}{5(k+1)}$发散到$\infty$的严谨方法咨询

嘿，我来帮你一步步严谨地搞定这个序列发散的证明～ 你直觉里“指数项会压过线性分母”的思路完全正确，咱们把这个直觉转化成严谨的推导就行，这里给你两种常用的方法：

方法一：下界估计法（直接用极限定义） #

首先先把序列通项做个简化变形：
$$
x_k = \frac{1}{5(k+1)} \cdot \left( \frac{5k^2}{k+1} \right)^k = \frac{5^{k-1} \cdot k^{2k}}{(k+1){k+1}}
$$

接下来我们找$x_k$的一个下界，当$k \geq 2$时，很容易证明$k+1 \leq 2k$（因为$k\geq2$时，$1\leq k$，所以$k+1\leq k+k=2k$），那：
$$
\frac{k^2}{k+1} \geq \frac{k^2}{2k} = \frac{k}{2}
$$

代入回去就能得到：
$$
\left( \frac{5k^2}{k+1} \right)^k \geq \left( 5 \cdot \frac{k}{2} \right)^k = \left( \frac{5k}{2} \right)^k
$$

再结合$k+1 \leq 2k$，分母的$5(k+1) \leq 10k$，所以：
$$
x_k \geq \frac{\left( \frac{5k}{2} \right)^k}{10k} = \frac{(5k/2)^k}{10k}
$$

现在看这个下界：$(5k/2)^k = (5/2)^k \cdot k^{k$，所以下界可以写成$\frac{(5/2)}k \cdot k^k}{10k} = \frac{(5/2)^k \cdot k^{k-1}}{10}$。

当$k$足够大时，$(5/2)^{k$是底数大于1的指数增长项，$k}{k-1}$是超指数增长项，两者相乘的增长速度远远超过分母的线性项$10$。对于任意给定的正数$M$，我们总能找到一个足够大的$N$，当$k>N$时，$\frac{(5/2)^k \cdot k^{k-1}}{10} > M$，自然$x_k > M$。根据极限定义，序列$x_k$发散到$\infty$。

方法二：比值判别法（利用序列单调性） #

另一种更简洁的方法是计算相邻两项的比值，看它的极限是否大于1：
$$
\frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{\left( \frac{5(k+1)^2}{k+2} \right)^{k+1} \cdot \frac{1}{5(k+2)}}{\left( \frac{5k^2}{k+1} \right)^k \cdot \frac{1}{5(k+1)}}
$$

化简这个比值：
$$
\frac{x_{k+1}}{x_k} = 5 \cdot \left( \frac{k+1}{k} \right)^{2k} \cdot \left( \frac{k+1}{k+2} \right)^{k+2}
$$

现在计算极限：

• $\lim_{k\to\infty} \left( \frac{k+1}{k} \right)^{2k} = \lim_{k\to\infty} \left( 1+\frac{1}{k} \right)^{2k} = e^2$
• $\lim_{k\to\infty} \left( \frac{k+1}{k+2} \right)^{k+2} = \lim_{k\to\infty} \left( 1-\frac{1}{k+2} \right)^{k+2} = e^{-1}$

所以：
$$
\lim_{k\to\infty} \frac{x_{k+1}}{x_k} = 5 \cdot e^2 \cdot e^{-1} = 5e \approx 13.59 > 1
$$

这说明当$k$足够大时，$\frac{x_{k+1}}{x_k} > 2$（比如取$k$大于某个$N$），序列从$N$开始单调递增，并且$x_k \geq x_N \cdot 2^{k-N}$——这个表达式显然会随着$k$增大趋向无穷大，因此序列$x_k$发散到$\infty$。

这样两种方法都能严谨地证明你的结论啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blue2001