积分$I(n)=\int_0^{2\pi} \frac{\cos(nt)}{1+t^2}dt$的渐近展开系数求解

问题回顾 #

我们需要证明当$n\to\infty$时，积分$I(n) = \int_0^{2\pi} \frac{\cos(nt)}{1+t^2} dt$有形式为$\sum_{k=0}^\infty a_k \frac{1}{n^{2k}}$的渐近展开，并求出系数$a_0, a_1, a_2$。

我的思路与完整解法 #

你提到用黎曼-勒贝格引理做变量替换的思路是可行的，不过对于振荡积分的渐近展开，多次分部积分法或者利用振荡积分的边界项渐近公式会更直接，我来一步步推导：

第一步：确认$a_0$的值 #

根据黎曼-勒贝格引理，当$n\to\infty$时，振荡积分$\int_a^b f(t)\cos(nt)dt$会趋于0（只要$f(t)$可积）。这里$f(t)=\frac{1}{1+t^{2}$在$[0,2\pi]$上连续可积，所以$\lim_{n\to\infty}I(n)=0$。而渐近展开的主导项是$a_0$（对应$\frac{1}{n}0}=1$），如果$a_0\neq0$，那么$I(n)$不会趋于0，因此**$a_0=0$**。

第二步：用分部积分求$a_1$ #

我们先把积分写成复形式方便计算：$I(n)=\text{Re}\left[ \int_0^{2\pi} \frac{e^{int}}{1+t2}dt \right]$。对这个复积分做分部积分：

• 令$u=\frac{1}{1+t^2}$，$dv=e{int}dt$，则$du=-\frac{2t}{(1+t²⁾2}dt$，$v=\frac{e^{int}}{in}$。
• 分部积分得：
  $$\int_0^{2\pi} \frac{e^{int}}{1+t2}dt = \left. \frac{e^{{int}}{in(1+t}2)} \right|_0^{2\pi} + \frac{2}{in}\int_0^{2\pi}\frac{t e^{int}}{(1+t2)^2}dt$$
  第一项代入上下限：$\frac{e^{{i2n\pi}}{in(1+4\pi}2)} - \frac{1}{in} = \frac{1}{in}\left( \frac{1}{1+4\pi^2}-1 \right)$，这是纯虚数，取实部为0。

对剩下的积分再做一次分部积分：

• 令$u=\frac{t}{(1+t²⁾2}$，$dv=e^{{int}dt$，则$du=\frac{1-3t}2}{(1+t²⁾3}dt$，$v=\frac{e^{int}}{in}$。
• 分部积分得：
  $$\int_0^{2\pi}\frac{t e^{int}}{(1+t2)^2}dt = \left. \frac{t e^{{int}}{in(1+t}2)^2} \right|_0^{2\pi} + \frac{1}{in}\int_0^{{2\pi}\frac{3t}2-1}{(1+t²⁾3}e^{int}dt$$
  第一项代入上下限：$\frac{2\pi e^{{i2n\pi}}{in(1+4\pi}2)^2} = \frac{2\pi}{in(1+4\pi²⁾2}$。

把这部分代回$I(n)$的表达式，取实部后：
$$I(n) = \text{Re}\left[ \frac{2}{in} \cdot \frac{2\pi}{in(1+4\pi²⁾2} + \text{高阶小量} \right]$$
化简：$\frac{4\pi}{i²ⁿ2(1+4\pi²⁾2} = \frac{4\pi}{n^2(1+4\pi2)^{2}$（因为$i}2=-1$），高阶小量是$O\left(\frac{1}{n^{3}\right)$，取实部后不影响主导项。因此**$a_1=\frac{4\pi}{(1+4\pi}2)^2}$**。

第三步：继续分部积分求$a_2$ #

为了得到$a_2$，我们需要对第二次分部积分后的剩余积分再做一次分部积分：

• 令$u=\frac{3t^2-1}{(1+t2)^3}$，$dv=e{int}dt$，计算得$du=\frac{24t(1-t^2)}{(1+t2)^{4}dt$，$v=\frac{e}{int}}{in}$。
• 分部积分得：
  $$\int_0^{{2\pi}\frac{3t}2-1}{(1+t²⁾3}e^{int}dt = \left. \frac{(3t^2-1)e{int}}{in(1+t²⁾3} \right|_0^{2\pi} + \frac{1}{in}\int_0^{{2\pi}\frac{-24t(1-t}2)}{(1+t²⁾4}e^{int}dt$$
  第一项代入上下限：$\frac{12\pi^{2-1}{in(1+4\pi}2)^3} + \frac{1}{in}$，这部分是纯虚数，取实部为0。

对新的积分再做一次分部积分（第四次分部积分），得到的边界项是实数，代入后可以得到$1/n^4$的项：
$$\text{对应项的实部为}\frac{48\pi(1-4\pi^2)}{n4(1+4\pi²⁾4}$$
这就是$a_2$对应的项，因此**$a_2=\frac{48\pi(1-4\pi^2)}{(1+4\pi2)^4}$**。

总结 #

最终我们得到渐近展开的前三个系数：

• $a_0=0$
• $a_1=\frac{4\pi}{(1+4\pi²⁾2}$
• $a_2=\frac{48\pi(1-4\pi^2)}{(1+4\pi2)^4}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vegetandy