二维欧氏空间紧子集内点坐标差的极值问题证明及思路验证

嘿，我来帮你理清楚这个问题的思路，先从你的疑问和当前的想法说起哈～

问题重述 #

给定非空紧子集 $\emptyset \neq A\subset \mathbb R^2$，需要证明存在点 $(y_1,y_2)\in A$ 和 $(z_1,z_2)\in A$，使得对所有 $(x_1,x_2)\in A$，都有：
$$y_1-y_2\leq x_1-x_2\leq z_1-z_2$$

你的当前思路的小问题 #

你一开始说“因为A是$\mathbb R^2$里的紧集，所以可以写成$A=A_1\times A_2$，其中$A_1,A_2$是紧集”——这里要纠正一下哦，这个结论是不对的！$\mathbb R^{2$里的紧子集不一定是两个紧集的笛卡尔积，比如平面上的闭圆盘${(x,y)|x}2+y^2\leq1}$是紧集，但它根本没法表示成两个区间（或者说一维紧集）的乘积，乘积出来的是正方形，圆盘是正方形的子集但不是乘积本身。所以这个前提错了，后面选点的思路自然也站不住脚啦。

正确的证明思路 #

其实这个问题不用绕到乘积空间这么复杂，换个角度想：定义一个从$A$到$\mathbb R$的函数$f(x_1,x_2)=x_1 - x_2$。你看，这个函数是线性的，对吧？线性函数在$\mathbb R^2$上肯定是连续的。

而我们知道连续函数在紧集上一定能取到最大值和最小值——这是紧集上连续函数的基本性质（极值定理）。那这样的话，因为$A$是紧集，$f$在$A$上连续，所以必然存在点$(y_1,y_2)\in A$，使得$f(y_1,y_2)$是$f$在$A$上的最小值；同时存在点$(z_1,z_2)\in A$，使得$f(z_1,z_2)$是$f$在$A$上的最大值。

那把这个翻译成题目里的不等式就是：对所有$(x_1,x_2)\in A$，都有$f(y_1,y_2)\leq f(x_1,x_2)\leq f(z_1,z_2)$，也就是
$$y_1-y_2\leq x_1-x_2\leq z_1-z_2$$
这不就正好是题目要我们证明的结论嘛！是不是比你之前的思路简洁多了～

补充：如果A真的是乘积紧集的情况 #

当然啦，要是$A$确实是两个一维紧集的乘积$A_1\times A_2$，那你选的点$(\inf A_1, \sup A_2)$和$(\sup A_1, \inf A_2)$其实是对的——因为这时候$f(x1,x2)=x1-x2$的最小值就是$\inf A1 - \sup A2$，最大值就是$\sup A1 - \inf A2$，而因为$A1,A2$是紧集，inf和sup都能取到，所以这两个点确实在$A$里。但这个情况只是紧子集的特例，不是所有紧子集都满足的，所以不能用这个作为一般情况的证明哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者categoricallystupid