如何直接证明「依分布收敛且一致可积的实值随机变量序列的期望收敛」这一结论？

嘿，我来给你捋一个完全直接的证明思路——不用你之前提到的耦合构造，纯靠依分布收敛的核心性质和一致可积的定义来推，一步步来很清晰～

先把我们要证的命题再明确下：

命题：设$(X_n), X$是实值随机变量，若$X_n \xrightarrow{d} X$（依分布收敛）且${X_n}$一致可积，则$\mathbb{E}[X_n] \to \mathbb{E}[X]$。

先回忆两个关键定义 #

• 一致可积：${X_n}$一致可积当且仅当：
  1. 所有$X_n$的绝对期望有公共上界，即存在$C>0$，对任意$n$都有$\mathbb{E}[|X_n|] \leq C$；
  2. 对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，只要事件$A$满足$P(A) < \delta$，就有$\sup_n \mathbb{E}[|X_n| \cdot I_A] < \varepsilon$（$I_A$是事件$A$的指示函数）。
• 依分布收敛的等价刻画（Portmanteau定理）：$X_n \xrightarrow{d} X$当且仅当对所有有界连续函数$f$，都有$\mathbb{E}[f(X_n)] \to \mathbb{E}[f(X)]$。这个等价性是我们直接证明的核心工具。

直接证明的步骤 #

我们的思路是：把期望差$|\mathbb{E}[X_n] - \mathbb{E}[X]|$拆成三个部分分别估计，用有界连续函数把无界的随机变量“截断”，把依分布收敛的性质和一致可积的控制结合起来。

步骤1：选一个合适的截断函数

对任意给定的$\varepsilon>0$，我们先找一个足够大的$M>0$，满足两个条件：

1. 因为$X$是实值随机变量，必然存在$M$使得$P(|X| > M) < \delta$（这里的$\delta$是一致可积定义里对应$\varepsilon/3$的那个$\delta$）；
2. 因为$X_n \xrightarrow{d} X$，根据Portmanteau定理，当$M$不是$|X|$分布的间断点时，$P(|X_n| > M) \to P(|X| > M)$，所以只要$M$足够大，就能让**所有$n$**都满足$P(|X_n| > M) < \delta$。

接下来定义截断函数：
$$f_M(x) = \begin{cases}
x, & |x| \leq M \
M, & x > M \
-M, & x < -M
\end{cases}$$
这个$f_M$是有界连续函数，而且满足$|f_M(x) - x| \leq |x| \cdot I_{|x|>M}$——这意味着它和原变量的差只在$|x|>M$的区域里，刚好能用一致可积的性质来控制。

步骤2：拆分期望差并逐项估计

我们把期望差拆成三个部分：
$$
|\mathbb{E}[X_n] - \mathbb{E}[X]| \leq |\mathbb{E}[X_n - f_M(X_n)]| + |\mathbb{E}[f_M(X_n)] - \mathbb{E}[f_M(X)]| + |\mathbb{E}[f_M(X)] - \mathbb{E}[X]|
$$
现在逐个分析这三项：

1. 第一项：$|\mathbb{E}[X_n - f_M(X_n)]|$
   根据$f_M$的定义，$X_n - f_M(X_n) = X_n \cdot I_{|X_n|>M} - M \cdot I_{X_n>M} + M \cdot I_{X_n<-M}$，它的绝对值就是$|X_n| \cdot I_{|X_n|>M}$，所以：
   $$|\mathbb{E}[X_n - f_M(X_n)]| = \mathbb{E}[|X_n| \cdot I_{|X_n|>M}]$$
   因为我们选的$M$满足$\sup_n P(|X_n|>M) < \delta$，结合一致可积的定义，这一项的上界是$\varepsilon/3$。
2. 第三项：$|\mathbb{E}[f_M(X)] - \mathbb{E}[X]|$
   同理，这一项等于$\mathbb{E}[|X| \cdot I_{|X|>M}]$，而我们选的$M$满足$P(|X|>M) < \delta$，单个随机变量$X$自然是一致可积的，所以这一项也小于$\varepsilon/3$。
3. 第二项：$|\mathbb{E}[f_M(X_n)] - \mathbb{E}[f_M(X)]|$
   因为$f_M$是有界连续函数，根据依分布收敛的Portmanteau等价刻画，当$n$足够大时，$\mathbb{E}[f_M(X_n)]$会趋近于$\mathbb{E}[f_M(X)]$，所以存在$N>0$，当$n>N$时，这一项小于$\varepsilon/3$。

步骤3：合并估计得出结论

当$n>N$时，三个部分的和小于$\varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon$。而$\varepsilon$是任意给定的正数，这就意味着$\mathbb{E}[X_n] \to \mathbb{E}[X]$，命题得证。

关键的小补充 #

为什么能找到同时满足两个条件的$M$？因为$X$的分布函数是右连续的，所以$|X|$的分布函数只有至多可数个间断点，我们可以避开这些点选$M$，此时$P(|X_n|>M) \to P(|X|>M)$，再结合$P(|X|>M)$可以任意小（因为$X$是实值随机变量，分布函数在无穷远处趋近于0），就能找到这样的$M$——这一步是衔接依分布收敛和一致可积的核心桥梁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ForgeBloyb