短正合序列中阿贝尔群A的计算方法咨询

我现在有个问题想弄明白：

给定短正合序列
$$0 \to \mathbb Z^2 \to \mathbb Z^2 \to A \to 0$$
其中两个$\mathbb Z^2$之间的同态映射对应的矩阵是
$$\begin{pmatrix}
1 & 2\
2 & -1
\end{pmatrix}$$

我该怎么计算阿贝尔群$A$呢？另外，这个群$A$是不是并不唯一？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emptymind