二维开单位球上自同胚的范数收敛性相关问题咨询

问题描述 #

Problem: 设$B(0,1)\subset (\mathbb R^2, \lvert \cdot\rvert_2)$为开单位球，$f\colon B(0,1)\to B(0,1)$是一个同胚。证明：若序列$(x_n)\subset B(0,1)$满足$\lvert x_n\rvert_2 \to 1$，则$\lvert f(x_n)\rvert_2 \to 1$。

提示：采用反证法，利用紧性选取合适的子序列。

我的困惑 #

• 我现在主要卡在理解讲师给的提示上——这里说的紧性到底指的是什么啊？毕竟开单位球本身根本不是紧集啊？
• 有没有不依赖这个提示的方法来证明这个结论呢？
• 这个命题本身是正确的吗？会不会应该把开单位球换成闭单位球才合理？那样的话讨论紧性就说得通了呀。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者categoricallystupid