平面凸区域二维瞬态热传导的几何特性相关技术问询

嘿，针对你提出的凸平面区域里二维瞬态热传导的这两个几何特性问题，我结合热传导的经典结论来给你梳理清楚：

问题1：T(x,y,t)=0等高线包围的热区是否始终保持凸性？ #

答案是肯定的。

对于这类满足齐次热方程：
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}$$
初始均匀高温、边界突然置为0的凸区域热传导问题，有个关键结论：热方程解的水平集（温度相等的点构成的曲线）具有凸性保持特性。

初始时刻热区就是凸区域A本身，随着时间推移，T=0的等高线从边界向内收缩。凸区域的几何特性限制了热扩散的方向，热量会均匀地向边界散发，不会出现局部热量堆积导致热区边界凹陷的情况——所以热区会一直保持凸形。

问题2：任意时刻的最热位置是否有简单几何特征？ #

这个得看区域的对称性来讨论：

• 如果是对称凸区域（比如圆形、正方形、正多边形、椭圆这类），因为热扩散在各个方向完全对称，任意时刻$t>0$的最热位置都会固定在区域的对称中心（通常就是几何质心）。中心区域的热量最晚被边界带走，所以始终保持最高温度。
• 如果是非对称的凸区域（比如狭长矩形、不规则凸多边形），最热位置会随时间变化，不会一直停留在质心。举个例子：一个长是宽10倍的矩形，短边方向的热量很快就通过边界散出去了，而长边中间的热量要扩散到边界得走更远的路，所以最热的点会慢慢往长边的中间偏移，直到最终整个区域温度趋近于0。

另外正如你提到的：如果区域A不是凸的，这两个结论都不成立。比如带凹口的区域，凹口附近的热扩散会出现“死角”，热区很快会出现凹的边界；同时最热位置可能会突然跳到凹口附近，完全没有规律可循。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user89699