探究函数$f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}$的解析点

咱们来研究下这个复变函数$f(z)=\frac{x}{x^2+y2}-i \frac{y}{x^2+y2}$的解析性——也就是它在哪些点可微。判断复变函数解析的核心思路是：先验证它是否满足柯西-黎曼方程，同时还要保证实部和虚部的偏导数连续。

首先，我们把$f(z)$拆成实部$u(x,y)=\frac{x}{x^2+y2}$和虚部$v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y2}$，然后分别计算它们的一阶偏导数：

• 计算$u_x$（实部对x的偏导数）：
  $$u_{x}=\frac{\frac{\partial}{\partial x}\left(x\right)\left(x^2+y2\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y2\right)x}{\left(x^2+y2\right)^{2}=\frac{1\cdot(x}2+y^2)-2x\cdot x}{\left(x^2+y2\right)^2}=\frac{-x2+y^2}{\left(x2+y^2\right)2}$$

• 计算$u_y$（实部对y的偏导数）：
  $$u_{y}=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x^2+y2}\right)=x\cdot\left(-\frac{2y}{\left(x^2+y2\right)^{2}\right)=-\frac{2xy}{\left(x}2+y^2\right)2}$$

• 计算$v_x$（虚部对x的偏导数）：
  $$v_{x}=-y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x^2+y2}\right)=-y\cdot\left(-\frac{2x}{\left(x^2+y2\right)^{2}\right)=\frac{2xy}{\left(x}2+y^2\right)2}$$

• 计算$v_y$（虚部对y的偏导数）：
  $$v_{y}=-\frac{\frac{\partial}{\partial y}\left(y\right)\left(x^2+y2\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2+y2\right)y}{\left(x^2+y2\right)^{2}=-\frac{1\cdot(x}2+y^2)-2y\cdot y}{\left(x^2+y2\right)^2}=\frac{-x2+y^2}{\left(x2+y^2\right)2}$$

接下来验证柯西-黎曼方程：
柯西-黎曼方程的两个条件是$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$：

1. 对比$u_x$和$v_y$：两者都是$\frac{-x^2+y2}{\left(x^2+y2\right)^2}$，显然相等；
2. 对比$u_y$和$-v_x$：$u_y=-\frac{2xy}{\left(x^2+y2\right)^{2}$，$-v_x=-\frac{2xy}{\left(x}2+y^2\right)2}$，也相等。

不过还要注意偏导数的连续性：这些偏导数都是分式形式，分母是$(x^2+y2)^{2$，只要$x}2+y^2\neq0$（也就是复平面上的点$z=x+iy\neq0$），分母就不为零，此时所有偏导数都是连续的有理函数。

而在$z=0$点，原函数$f(z)$的分母为零，函数本身没有定义，自然谈不上解析。

总结一下：这个函数在复平面上除原点$z=0$以外的所有点都是解析的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wrlord