复变函数$f(z)=\frac{1}{2} \ln (x^2+y^2)+i\arctan\left(\frac{y}{x} \right)$的解析区域判定

咱们一步步来分析这个复变函数的解析区域。要判断复变函数是否解析，核心思路是验证柯西-黎曼方程是否成立，同时还要确认实部$u$和虚部$v$的偏导数是否连续。

首先，把函数拆成实部和虚部：
$$u(x, y)=\frac{1}{2} \ln (x^2+y2) \quad \text{且} \quad v(x, y)=\arctan\left(\frac{y}{x} \right)$$

接下来计算各个偏导数：

实部$u$的偏导数 #

• 对$x$求偏导：
  $$u_{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln \left(x^2+y2\right)\right)=\frac{1}{x^2+y2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y2\right)=\frac{x}{x^2+y2}$$
• 对$y$求偏导：
  $$u_{y}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\left(\ln \left(x^2+y2\right)\right)=\frac{1}{x^2+y2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2+y2\right)=\frac{y}{x^2+y2}$$

虚部$v$的偏导数 #

利用链式法则计算：

• 对$x$求偏导：
  $$v_{x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\cdot\left(-\frac{y}{x}2}\right)=-\frac{y}{x^2+y2}$$
• 对$y$求偏导：
  $$v_{y}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x}2+y^2}$$

验证柯西-黎曼方程 #

柯西-黎曼方程要求：$u_x = v_y$ 且 $u_y = -v_x$。代入上面的结果：

• $u_x=\frac{x}{x^2+y2}$，$v_y=\frac{x}{x^2+y2}$，二者相等；
• $u_y=\frac{y}{x^2+y2}$，$-v_x=\frac{y}{x^2+y2}$，二者也相等。

这说明在偏导数存在的区域，柯西-黎曼方程是成立的，但我们还得考虑定义域和连续性：

1. 实部$u(x,y)$的定义域是$x^2+y2\neq0$，也就是原点$(0,0)$必须排除；
2. 虚部$v(x,y)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$的定义域是$x\neq0$（虚轴上的点都没定义）；
3. 偏导数$u_x, u_y, v_x, v_y$在$x\neq0$且$x^2+y2\neq0$的区域都是连续的（分子分母都是多项式，分母不为0时连续）；
4. 额外注意：当$x<0$时，$v(x,y)$在实轴上（$y=0$）是不连续的——比如从第二象限趋近于$(-a,0)$（$a>0$）时，$v$趋近于$0^{-$；从第三象限趋近于$(-a,0)$时，$v$趋近于$0}+$，这导致函数在左半平面的实轴上不连续，无法满足解析的要求。

结论 #

这个复变函数的解析区域是右半平面（$x>0$的所有点），同时要排除原点（不过原点本来不在定义域内）。在右半平面内，函数满足柯西-黎曼方程，且所有偏导数连续，因此是解析的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wrlord