图论中的割集定义疑问：集合{3,4,5}是否为割集？

要搞清楚这个问题，得先掰明白图论里割集（通常指顶点割集/vertex cut）的核心定义，还有你提到的“割集里节点必须连通”这个说法的语境——其实这个表述并不是通用标准，大概率是某些资料针对特定场景的限定。

1. 顶点割集的通用标准定义 #

对于一个连通图 ( G )，一个顶点集合 ( S ) 能被称为顶点割集，得满足两个关键条件：

• 把 ( S ) 里的所有顶点（以及它们连的边）都去掉后，原图的连通分支数必须增加（比如从连通变成不连通，或者原本的连通分支数变多）；
• ( S ) 得是极小的——意思是你不能从 ( S ) 里去掉任何一个节点，还能满足第一个条件（少一个节点就断不开图了）。

划重点：通用定义里完全没有要求割集本身的节点是连通的，你看到的“割集节点必须连通”的说法，可能是混淆了边割集和顶点割集，或者是针对s-t割这类特定场景的特殊表述。

2. 结合你给出的图来分析 #

先把你描述的图结构理清楚：

• 节点连接关系：1连2和4，2连1、3和5，3连2、4，4连1、3，且4和5之间没有边；
• 整个原图是连通的。

现在看集合 ( {3,4,5} )：
当我们把这三个节点都移除后，剩下的节点是1和2，而1和2之间直接有边相连，整个子图还是连通的——也就是说，移除这个集合后，图的连通分支数根本没增加（还是1个连通分支）。

3. 最终结论 #

不管从通用标准定义，还是你提到的“割集节点必须连通”的特殊要求来看，({3,4,5}) 都不属于割集：

• 从通用定义看：它无法让原图断开，连最基本的“移除后连通分支数增加”的条件都满足不了；
• 从你看到的特殊表述看：集合里的4和5不连通，本身就不符合“割集节点必须连通”的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Goktug