160位哈希函数碰撞计算：75%概率所需消息数

这是个典型的生日悖论应用场景，咱们一步步拆解计算：

首先明确核心参数：

• 160位哈希的总可能取值数 ( N = 2^{160} )（每个二进制位有0/1两种选择，整个哈希空间的大小就是2的160次方）
• 目标是找到消息数量 ( k )，使得碰撞发生的概率达到75%

生日悖论的近似概率公式是：
[ p \approx 1 - e^{-\frac{k2}{2N}} ]

把目标概率 ( p=0.75 ) 代入公式，解出 ( k )：

1. 先整理公式：( 0.75 = 1 - e^{-\frac{k2}{2N}} ) → ( e^{-\frac{k2}{2N}} = 0.25 )
2. 两边取自然对数：( -\frac{k^2}{2N} = \ln(0.25) )（这里(\ln(0.25) \approx -1.3863)）
3. 变形推导 ( k^2 )：( k^2 = -2N \times \ln(0.25) \approx 2N \times 1.3863 = 2.7726N )
4. 开平方得到 ( k \approx \sqrt{2.7726 \times 2^{160}} )

接下来简化结果：

• ( \sqrt{2.7726} \approx 1.665 )
• ( \sqrt{2^{160}} = 2^{80} )（因为((2^{80})2 = 2^{160})）

最终得到 ( k \approx 1.665 \times 2^{80} )

转换成十进制的话，( 2^{80} ) 约等于 ( 1.209 \times 10^{24} )，所以这个数大概是 ( 2.01 \times 10^{24} )——简单说就是大约2万亿亿亿条消息。

需要注意的是，这是近似值，生日悖论的公式在( k )远小于( N )时精度很高，这里显然满足这个条件（( 2^{80} ) 比 ( 2^{160} ) 小得多），所以结果是可靠的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bernd Eber