无界被积函数的反常二重积分处理方法咨询

嗨，别慌，遇到带无界被积函数的反常二重积分其实没那么棘手，变量替换绝对不是被禁止的，反而极坐标变换在这里会比直角坐标好算太多，咱们一步步来理清楚：

首先先澄清一个小误解：你说函数在D里无界，但咱们仔细看区域D的条件$0\leq y\leq x$，这意味着对于D里所有非原点的点，$\frac{y}{x}\leq1$，那原函数$f(x,y)=\frac{x^2+y2}{x^{2}=1+(\frac{y}{x})}2\leq2$，其实是有界的！只有在原点这个单点上函数没定义，但单点的测度为0，完全不影响积分的计算，所以这个积分本质上可以按正常二重积分来处理，不用套反常积分的复杂流程~

不过如果是更一般的、确实存在无界区域或被积函数在正测度集上无界的情况，我也给你说下通用的处理思路：

• 优先考虑极坐标变换（如果区域是圆、扇形这类的话）：
  把D转换成极坐标形式：因为$0\leq y\leq x$，所以$\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$；$x^2+y2\leq1$对应$r\in[0,1]$。被积函数代入极坐标后变成$\frac{r^2}{r2\cos^{2\theta}=\sec}2\theta$，再加上极坐标的面积元素$r dr d\theta$，积分就变成$\int_{0}^{{\frac{\pi}{4}}\int_{0}}{1}\sec^2\theta \cdot r dr d\theta$。

• 分离变量计算：
  这个积分可以拆成两个单积分的乘积：$\left(\int_{0}^{{\frac{\pi}{4}}\sec}2\theta d\theta\right) \times \left(\int_{0}^{1}r dr\right)$。第一个积分算出来是$\tan\theta\big|{0}^{{\frac{\pi}{4}}=1$，第二个是$\frac{1}{2}r}2\big|{0}^{1}=\frac{1}{2}$，所以最终结果就是$1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

• 真遇到反常积分的情况（比如被积函数在某条线上无界）：
  可以用“挖去奇点邻域”的方法，比如先挖去以原点为中心、半径为$\varepsilon$的小圆和D的交集，计算剩余区域的积分后再取$\varepsilon\to0^+$的极限，极坐标变换在这里依然适用，只要变换在除奇点外的区域是光滑可逆的就行。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user210089