求证：两个线性紧算子的和仍是线性紧算子

嗨，最近我在啃泛函分析的问题时碰到了这么个证明题，整理了清晰的推导思路，跟你唠唠：

设$X$和$Y$是两个赋范向量空间，证明：若$T_1,T_2\in \mathcal{L}(X,Y)$是紧算子，则$T_1+T_2\in \mathcal{L}(X,Y)$也是紧算子。

要搞定这个证明，我们可以紧扣紧算子的定义和紧集的核心性质来一步步推：

• 先回顾紧算子的一个等价定义：一个线性算子$T\in \mathcal{L}(X, Y)$是紧算子，当且仅当$T$将$X$中的闭单位球$\overline{B(0, 1)}$映射到$Y$中的一个紧子集。
• 对于算子和$T_1+T_2$，它作用在闭单位球上的像满足：$(T_1+T_2)(\overline{B(0, 1) })=T_1(\overline{B(0, 1) })+T_2(\overline{B(0, 1) })$。
• 因为$T_1$和$T_2$都是紧算子，所以$T_1(\overline{B(0, 1)})$和$T_2(\overline{B(0, 1)})$都是$Y$中的紧集。而赋范空间中两个紧集的和仍是紧集——这是因为紧集的笛卡尔积仍是紧集，加法运算$(a,b)\mapsto a+b$是连续映射，连续映射会把紧集映射为紧集，所以两个紧集的和必然是紧集。
• 既然$(T_1+T_2)(\overline{B(0,1)})$是$Y$中的紧集，根据紧算子的等价定义，就能直接得出$T_1+T_2$是紧算子了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fellow InstituteOfMathophile