关于对数幂函数与x的比值收敛性问题的解法正确性问询

若 $\frac{(\log x)^u}{x}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时收敛到一个常数，则参数 $u$ 的所有可能值构成的集合 $S$ 是：
(A) $[-1,1]$
(B) $(-\infty,1]$
(C) $(-\infty,\infty)$
(D) 以上都不对

我的解题思路： #

我反复使用了洛必达法则：
$$\lim_{x\to \infty} \frac{(\log x)^u}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{u(\log x)^{u-1}}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{u(u-1)(\log x)^{u-2}}{x}= \dots = \lim_{x\to \infty} \frac{u(u-1)(u-2)\dots(u-(n-1))(\log x)^{u-n}}{x}=0$$
其中 $n \geq u$

因此选项(C)应该是正确的，因为对于所有实数 $u$ 这个极限都成立。

请问这个思路是正确的吗？欢迎指出任何错误或者改进建议。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ishant Dumane