关于不定积分∫csc²(x)cot(x)dx两种换元解法的结果疑惑

嘿，大伙！正如标题说的，今天我碰到一个看起来简单但有点搞不懂的三角不定积分问题：$$\int \csc^2(x)\cot(x) ,dx$$ 这是我在微积分教材里学换元法那一章遇到的题，先跟大伙说说我最开始的解法：

我设 $u = \csc(x)$，那对应的微分就是 $du = -\cot(x)\csc(x)dx$，接着我把积分变形了一下：
$$\int \csc^2(x)\cot(x) ,dx = - \int -\csc^2(x)\cot(x) ,dx = - \int u ,du = - \frac{1}{2} u^2 + C = - \frac{1}{2} \csc^2(x) + C $$

本来觉得自己解的没啥问题，结果翻答案的时候，发现还有另一种换元思路，结果看起来和我得的不一样，当时就有点懵了。

这次是设 $u = \cot(x)$，这时候微分 $du = -\csc^2(x)dx$，代入积分后就变成：
$$\int \csc^2(x)\cot(x) ,dx = - \int u ,du = - \frac{1}{2}u^2 + C = - \frac{1}{2}\cot^2(x) + C $$

后来我仔细琢磨了下，其实这两个结果都是正确的！因为根据三角恒等式$\csc^2(x) = 1 + \cot^2(x)$，这两个表达式之间只差了一个常数项，而不定积分里的常数$C$本来就可以把这个差异吸收掉，所以两种换元方法都是对的~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LogicBeDamned