关于L^∞空间中函数积分比值极限的证明问询

问题描述 #

设$(X, \mu)$是一个非空测度空间且$\mu(X) < \infty$，$f\in L^{\infty}(X)$且$|f|\infty > 0$。定义$\alpha{n} := \int_{X} |f(x)|^n$（$n = 1,2,3, \dots$），请证明：
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}} = |f|_{\infty} $$

我的尝试 #

我已经理清了一半的思路：首先很容易看出$\frac{\alpha_{n}}{\alpha_{n-1}} \leq |f|{\infty}$，所以这个极限的上界肯定是$|f|{\infty}$。

不过在证明下界的时候，我只走了第一步：先取一个满足$0 < \epsilon < |f|{\infty}$的$\epsilon$，然后定义集合$E := {x: |f(x)| \geq |f|{\infty} -\epsilon}$——根据$L^\infty$范数（本质上确界）的定义，这里$\mu(E)$肯定是大于0的。但接下来怎么通过这个集合去估计$\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}$的下界，从而让极限大于等于$|f|_{\infty}-\epsilon$（进而由$\epsilon$的任意性得到结论），我还没完全想明白，希望能得到大家的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam