求使a·(b+c)成为配对函数的最小正整数c_min的计算公式

先明确核心需求：我们需要找到最小的正整数偏移量$c>0$，使得表达式
$$a\cdot (b+c)$$
能生成恰好 $a_{max} \cdot b_{max}$ 个互不重复的数值。其中$a \in [1,a_{max}]$，$b \in [1,b_{max}]$。现在需要一个可计算这个$c_{min}$的公式，而且这个公式要能适配极大的数值（比如$\approx10^{50}$量级的数），不需要提供证明过程。

补充疑问 #

• 目前已知$c$的一个上界为 $c_{max} = a_{max} \cdot b_{max}$（原表述写为$a\cdot b$，结合上下文推测应为$a_{max} \cdot b_{max}$）
• 如果不存在计算绝对最小值$c_{min}$的公式，那这个上界最多能被缩小多少？

我自己通过枚举所有可能值的方式，算出了一些示例结果，但原表格内容不完整，暂时无法展示完整数据。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Doe