形如$F(a^{k+1})/F(a^k)$的斐波那契数商为素数时参数a、k的求解问询

大家好，我有一个关于斐波那契数的问题想和大家探讨：

设$F(n)$为第$n$个斐波那契数，请问当整数$a$和$k\ge1$满足什么条件时，$\frac{F(a^{k+1})}{F(ak)}$是素数？

目前我只找到了6个符合条件的例子：

$$\eqalign{
3 &= F(2^2)/F(21)\cr
7 &= F(2^3)/F(22)\cr
17 &= F(3^2)/F(31)\cr
47 &= F(2^4)/F(23)\cr
2207 &= F(2^5)/F(24)\cr
97415813466381445596089 &= F(11^2)/F(111)\cr}$$

如果还存在其他符合条件的例子，其数值肯定大于$10^{20000}$。另外，我们可以很容易证明$a$必须是素数。

编辑补充：针对卢卡斯数也可以提出类似的问题，这时候要求$a$必须是奇数，目前我找到的例子……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Robert Israel