几乎处处收敛与L¹范数收敛是否蕴含L¹收敛（σ有限无限测度集情形探讨）

咱们先把问题的前提和条件摆明白：
设$(X, \mathcal{X}, \mu)$是一个测度空间，假设函数序列$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$是$L^1(\mu)$空间中的元素，并且满足以下两个条件：

• $f_n$几乎处处收敛到$f \in L^1(\mu)$，即 $f_n \to f \ \text{a.e.}$
• 对任意可测集$A$，积分满足 $\int_A |f_n| \ \mathrm{d}\mu \to \int_A |f| \ \mathrm{d}\mu$

那么核心问题是：是否一定有 $\int_A |f_n - f| \ \mathrm{d}\mu \to 0$？

我已经在**$\mu(A) < \infty$**（也就是$A$是有限测度集）的附加假设下证明了这个结论——当时用了Egorov定理和Lebesgue积分的绝对连续性来推导。

不过现在我卡在了另一种情况：如果$\mu(A) = \infty$，而且$A$是σ-有限的，这个结论还成立吗？这里的难点在于，用来覆盖$A$的那些有限测度子集上，上面的第二个条件不一定能成立……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Caio Lins