如何在MATLAB中统计多项式的重根？

看起来你已经尝试用roots()和uniquetol()处理多项式根，但对复数根的唯一性判断、重根统计还有点拿不准对吧？别着急，咱们一步步来解决这个问题。

首先要告诉你一个好消息：uniquetol()本身是支持复数比较的！它会同时对比复数的实部和虚部，默认用欧几里得距离来判断两个复数是否“足够接近”（也就是你传入的精度阈值）。不过你当前的代码里有个小问题——最后又调用了一次不带参数的uniquetol(r)，这会覆盖之前用指定精度处理的结果，得把这个多余的调用删掉才行。

接下来，咱们聊聊怎么统计重根的数量和每个根的重数，还能顺便验证根的准确性：

改进后的函数实现 #

function [unique_roots, multiplicities, root_errors] = polyroots(coeffs, varargin)
    % 设置默认精度，用户也可以自定义传入
    tol = 1e-6;
    if nargin == 2
        tol = varargin{1};
    end
    
    % 获取所有根（包括复数根）
    all_roots = roots(coeffs);
    
    % 去重，同时获取每个根对应的分组索引
    [unique_roots, ~, group_idx] = uniquetol(all_roots, tol);
    
    % 统计每个唯一根的重数
    multiplicities = histcounts(group_idx, length(unique_roots));
    
    % 验证根的精度：将根代入多项式，计算误差（越接近0越准确）
    root_errors = abs(polyval(coeffs, unique_roots));
    
    % 可选：输出重根信息
    fprintf('多项式次数：%d\n', length(coeffs)-1);
    fprintf('唯一根数量：%d\n', length(unique_roots));
    fprintf('重根总重复次数：%d\n', length(all_roots)-length(unique_roots));
end

代码说明 #

1. 复数根的去重：uniquetol(all_roots, tol)会自动处理复数，只要两个复数的实部和虚部差异都在tol范围内，就会被判定为同一个根。
2. 重数统计：group_idx数组记录了原根列表中每个元素属于哪个唯一根组，用histcounts统计每个组的元素个数，就是对应根的重数。
3. 精度验证：用polyval()把每个根代入原多项式，计算绝对值误差——如果误差远大于你设置的tol，说明这个根的数值精度可能有问题，需要调整阈值或者检查多项式系数。

使用示例 #

比如对于多项式(x-2)^3*(x+1)^2，它的系数是[1 -4 -3 18 -8]，调用函数：

[ur, mult, err] = polyroots([1 -4 -3 18 -8], 1e-6);

你会得到：

• ur = [-1; 2]：两个唯一根
• mult = [2; 3]：-1是2重根，2是3重根
• err会是非常小的数值（接近0），说明根的精度没问题

注意事项 #

• 精度阈值tol的选择：太小可能会把数值误差导致的“近似重根”当成不同根；太大则可能把相近的不同根误判为重根。一般可以参考eps * norm(all_roots)来设置，或者根据你的计算需求调整。
• 符号计算备选方案：如果你的多项式系数是精确值（比如整数），也可以用符号计算来准确获取重根，示例如下：

  syms x;
  p = poly2sym([1 -4 -3 18 -8]);
  symbolic_roots = roots(p);
  % 用factor()还能直接看到多项式的因式分解，直观看到重根
  factor(p)
  

  不过符号计算对于高次多项式来说，速度可能会慢一些，适合小次数的精确计算场景。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Snork Maiden